Desenvolupament en sèries de Fourier (21/04/2016)

Per començar i ressituar-nos, vam fer un resum general de tots els aspectes vists durant el curs. L’objectiu bàsic i al voltant del qual hem centrat tots els nostres estudis és conèixer el comportament d’un circuit quan l’excitem amb una ona sinusoïdal. Hem anat apropant-nos de manera esglaonada a aquest coneixement començant per l’estudi en Règim Permanent Sinusoïdal mitjançant les funcions de xarxa de cada circuit, passant per l’estudi de les traces de Bode, per arribar finalment a un concepte que només vam plantejar el darrer dia i que anomenem Representació espectral d’una sinusoide.

Aquest nou concepte ens facilita molt la feina a l’hora de plantejar-nos el disseny d’un circuit, ja que ens permet relacionar més fàcilment i de manera molt més gràfica l’excitació amb la sortida.

Bàsicament la representació espectral consisteix en mostrar l’espectre d’una ona, és a dir, allò que amaga. Fourier va proposar que dins de qualsevol ona hi ha amagat el mateix “patró”, que anomenem espectre i que tindrà un valor en dBV que més endavant explicarem.

Si coneixem l’espectre de la sinusoide d’entrada i volem conèixer el comportament de la de sortida, només ens caldrà saber el GdB del circuit a la freqüència que treballem i sumar-lo a l’entrada per obtenir, en dBV, el valor de la sortida i de la mateixa manera, si sabem l’argument de l’entrada i l’argument de H(s), sumant-los obtindrem l’argument de la sortida. Això fa que la relació entre l’entrada i la sortida sigui una senzilla suma i que el disseny d’un circuit es faciliti immensament.

Que passa però si l’ona d’entrada no es sinusoïdal? Fourier també ho explica.

Per tota Vg periòdica Vg(t+-nTo) Co+2|C1|·cos(Wot+α1)+2|C2|·cos(Wot+α2)+...

On:

• Wo=2π/To
• Co=1/To·∫_To Vg(t)dt [Valor mig de la funció periòdica.
• Cn=1/To·∫_ToVg(t)·e^-jnWotdt=|Cn|e^jαn

Anomenem a aquesta representació sèrie de Fourier, i si en volguéssim trobar un símil circuital seria un circuit format per generadors sinusoïdals connectats en sèrie i harmònicament relacionats.

Si fem la representació espectral del desenvolupament en sèrie de Fourier veurem que obtindrem ratlles espectrals sempre que la funció sigui periòdica i serà del tipus següent:

Però el que realment ens serà útil serà conèixer aquesta representació espectral en dBV, per calcular l’alçada de cada espectre en dBV caldrà recordar per ara aquestes dues característiques:

• Si l’ona d’entrada és periòdica, quadrada i oscil·la per sobre del 0, només tindrà espectres als múltiples imparells de freqüència, Co=Vm/2 i Cn=Vm/2πn (decreix a raó de 1/n.
• Si en canvi l’ona d’entrada és quadrada i periòdica però oscil·la entre Vm i -Vm Co=0 i Cn=4Vm/nπ.

Aquest tipus de representació ens permet analitzar de manera freqüencial el comportament dels circuits i ens molts casos hi haurà molta diferència entre una ratlla espectral i la següent i això ens permetrà despreciar la segona respecte la primera. Considerarem que una ratlla espectral és despreciable si Vm1/Vm2>=100 o el que és el mateix Vm1(dBV)-Vm2(dBV)>=40dB.