Traces de Bode (07/04/2016)

A la classe d’avui ens hem endinsat en un nou tema, per introduir-lo hem fet un breu repàs del que ja sabíem sobre el comportament dels circuits en alimentar-los amb una sinusoide. Per conèixer i dominar per complet un circuit en RPS busquem conèixer el mòdul i l’argument de la seva funció de xarxa, però ens adonem que serà molt més fàcil de treballar amb qualsevol circuit si en coneixem la gràfica del mòdul de la seva funció de xarxa i de l’argument d’aquesta.

Amb aquest objectiu , per evitar les dificultats que suposa representar algunes funcions, iniciem un nou tema, el tema de les traces de Bode, que proposa una solució que pot semblar complicada però facilita aquesta tasca:

Bode planteja que enlloc de representar directament el mòdul de H(s) representem 20·log|H| en funció del logW, a aquest desconegut 20·log|H| l’anomena guany en dB. Un decibel és igual a 10·log(Pout/Pin), i s’origina amb l’objectiu de comparar la potència d’entrada i de sortida en una transferència, ja que la de sortida sempre té un valor molt inferior i per comparar-les s’hauria de treballar amb números extremadament petits, el logaritme permet comprimir i treballar amb valors molt més còmodes. Tenint en compte que P=V²/R el guany en decibels es calcula de la següent manera: 10=log(Vo² /R)/(Vin² /R)  = 20·logVo/Vin= 20·log|H|.

Pel que fa a l’argument ell proposa seguir representant-lo però en aquest cas en funció de logW.

Un cop presentada la proposta hem analitzat perquè era realment útil representar les traces de Bode enlloc de les gràfiques inicials. La correspondència lineal suposa una restricció molt important pel fet que l’amplificació creix molt ràpidament, és a dir, si associem a una f1 una d1=kf1, i suposem f2=10f1, la seva d2=10d1 i f3 ja estarà associada a una d3=100d1.

Com a solució Bode presenta l’ús dels logaritmes, però no podem trobar el logaritme d’algun valor amb dimensions i per això proposa trobar la distància associada a una freqüència a partir de la següent operació: l=k·log(f/f_referència), en aquest cas, si suposem que f2=10f1, d2 valdrà d1+k i per tant d2-d1=k . Això fa que l’eix d’abscisses quedi dividit en espais idèntics per a les freqüències amb una dècada de separació. [Dècada= separació entre dos freqüències tal que f2=2f1]

Aquesta nova representació comporta que les traces de Bode es representen en uns eixos que queden dividits de la següent manera:

L’eix d’abscisses queda dividit en espais iguals associat cadascun a una dècada i el d’ordenades graduat en Decibels. A l’eix marcat en taronja l’anomenem eix de guany 0dB, si la traça es troba per sobre vol dir que amplifica i si es dóna per sota que atenua.

 

El nombre de dècades entre dues freqüències serà igual al log(f2/f1), en canvi, anomenem octava a la distància entre dos freqüències tal que f2=2f1 i el nombre d’octaves es calcula com log₂(f2/f1).

f2/f1=10^nº.decades=2^{nº octaves}

Per tant, nº dècades=nº octaves ·log(2)=0,30·nº octaves.

Si entenem H(s) com una divisió de polinomis de coeficients positius arribem al resultat que H(s)=(Z1....Zm)/(P1....Pn) on Z1...Zm seran les arrels del numerador i les anomenarem zeros de H(s) i p1...pn seran els pols. L’anàlisi d’H(s) a partir de les arrels del seu numerador i denominador ens permet descompondre una representació complicada en una suma de traces elementals.

Gràcies a aquest resultat trobarem les traces de Bode a partir de l’estudi per separat dels factors que formaran part habitualment de H(S):

•  H(s)=k en aquest cas GdB=20·log|k| i veiem que el que tenim és un amplificador amb un guany de 20dB i que la gràfica de GdB serà una recta y=20 i la de l’argument no passarà del 0.
• H(s)=k/s aquí Gdb=20logk-20logW, això té forma de recta i en aquest cas serà una recta de pendent= -20 dB/dècada i que tallarà l’eix de de les x (per tant tindrà guany 0) quan x=k. La gràfica de l’argument serà una recta a y=-π/2 per tota freqüència.
•  H(s)=ks que gràficament serà la mateixa recta que en el cas anterior però amb pendent positiu i que tallarà l’eix d’abscisses a 1/k. A més l’argument en aquest cas valdrà π/2 enlloc de – π/2.
• H(s)=1/(s/wc+1) Quan ens trobem davant d’una situació com aquesta, veiem que Gdb serà 20·log1/|jwc/wc+1| = -20·log |jwc/wc+1| això ja sembla més complicat de representar, però si ho separem de la següent manera:

o   Quan w<<wc la part imaginaria és negligible al costat de la part real i obtenim GdB=-20·log1=0

o   Quan, al contrari, w>>wc succeeix el contrari i GdB=-20·log w/wc=-20·logW+20·logWc

I això dóna lloc al següent gràfic:

Format en el nostre cas per trams rectilinis, com veiem a la imatge però al punt de Wc que en aquest gràfic consideren 1 es dóna un petit error, però podem veure que és de només 3dB.

Per concloure faré un petit resum dels beneficis que ens aporten les traces de Bode:

•  Les relacions logarítmiques tenen un poder de compressió important que ens permet treballar amb nombres més còmodes i manejables.
• Permeten descompondre una representació complexa en una suma de traces elementals.
• Ens permeten obtenir gràfics formats per trams rectilinis molt fàcilment representables però que ens permetran conèixer i reconèixer ràpidament el comportament de H(s) en funció de la freqüència.