Potència màxima i introdució a l'estudi de la resposta completa d'un circuit (09/05/2016)

En aquesta classe, després de fer un petit repàs del concepte de potència introduït en les anteriors classes, vam estudiar els possibles complements sobre la potència mitjana. La pregunta en la que vam basar la classe va ser quina potència es pot extreure d’un bipol si tenim en compte la resistència associada al generador? Es pot maximitzar?

Podem calcular la potència d’un circuit com el de la figura de la següent manera:

Si, a partir d’aquesta fórmula, fem la representació de la potència en funció de R_L ens adonem que aquest gràfic té un màxim, que correspon al punt en què Rg= R_L , en aquest punt:

Aquesta potència l’obtindrem quan connectem la resistència equivalent de Thèvenin, és per això que quan ens trobem davant d’un circuit i en volem extreure la màxima potència, seguirem els següents passos:

1. Busquem el seu circuit transformat fasorial.
2. Busquem la tensió i la impedància equivalent de Thèvenin.
3. Trobarem la màxima potència amb la següent fórmula:  

També es pot donar la situació inversa, és a dir, sabem la màxima potència que podem extreure d’un circuit però ens demanen proposar un bipol equivalent per aconseguir-ho, que bé pot ser en sèrie o en paral·lel. Detallaré també pas a pas, el procediment a seguir en aquest cas:

1. Buscarem el circuit transformat fasorial.
2. A continuació la impedància equivalent de thèvenin.

BIPOL EN SÈRIE:

• A partir del conjugat de la impedància de thèvenin podrem saber si el bipol que busquem haurà de ser de caràcter inductiu, si la part imaginària té signe positiu, o capacitatiu si el signe és negatiu.
• Una vegada conegut el caràcter del bipol ja només caldrà associar la part real a la resistència i la part imaginària a l’inductor (LxW) o al condensador (1/CxW) i podrem trobar així el valor dels components del bipol.

BIPOL EN PARAL·LEL:

•  En aquest cas, el primer que farem serà buscar, a partir de la impedància, l’admitància del circuit (Y=1/Z).
• Una vegada més, el signe de la part imaginària determinarà el caràcter del bipol, però en aquest cas, serà inductiu si el signe és negatiu i capacitatiu en cas contrari.
•  Per últim només faltarà igualar la resistència a la part real de l’admitància (1/Rx) i la part imaginària a l’inductor(1/LxW) o al condensador (CxW) en cada cas.

A continuació, vam iniciar l’últim tema que hem tractat aquest curs. Des del primer moment, l’objectiu d’aquesta assignatura ha sigut conèixer el comportament d’un circuit, fins ara ens havíem centrat en estudiar-lo en règim permanent sinusoïdal, és a dir, quan passat un temps ja es comportava a la sortida de manera similar a l’entrada, però aquí comença l’anàlisi de la resposta completa d’un circuit, és a dir, des del segon 0, tenint en compte tan el règim que anomenarem transitori, com el règim permanent sinusoïdal, i veurem també el temps que triga en desaparèixer el transitori per considerar si cometem o no un error important en no contemplar-lo.

Per estudiar el règim transitori ens caldrà resoldre equacions diferencials ordinàries, ja que els inductors i els condensadors introduiran una relació corrent tensió que ve donada per una derivada. Per tractar amb aquest tipus d’equacions, nosaltres utilitzarem el mètode de la Transformada de Laplace i per facilitar-nos la feina, crearem una reduïda llista de transformades que haurem de conèixer perquè seran les que més utilitzarem.

• Funció esglaó: [u(t)] V(s)=1/s
• Exponencial negativa: [Vm·e^-ta·u(t)] V(s)=Vm/s+a
• Exponencial positiva: [Vm·e^ta·u(t)] V(s)=Vm/s-a
• Sinusoide: [Vm·cos(t)·u(t)] à V_ms/s²+W²         [Vm·sin(t)·u(t)]à V_mW/ s²+W²

L’aspecte que tindrà V(S) (transformada de laplace de V) serà:

Per trobar l’anti-transformada de Laplace podrem fer-ho per identificació o bé en el cas que no sigui tan senzill, fent la descomposició en fraccions simples de la resposta obtinguda i identificant cada fracció amb un tipus de resposta. Cal dir també que si sabem situar els pols en l’eix de coordenades, ja podem obtindré una aproximació del tipus de resposta, i només ens caldrà trobar la constant multiplicativa associada.