Desenvolupament en sèries de Fourier (21/04/2016)

Per començar i ressituar-nos, vam fer un resum general de tots els aspectes vists durant el curs. L’objectiu bàsic i al voltant del qual hem centrat tots els nostres estudis és conèixer el comportament d’un circuit quan l’excitem amb una ona sinusoïdal. Hem anat apropant-nos de manera esglaonada a aquest coneixement començant per l’estudi en Règim Permanent Sinusoïdal mitjançant les funcions de xarxa de cada circuit, passant per l’estudi de les traces de Bode, per arribar finalment a un concepte que només vam plantejar el darrer dia i que anomenem Representació espectral d’una sinusoide.

Aquest nou concepte ens facilita molt la feina a l’hora de plantejar-nos el disseny d’un circuit, ja que ens permet relacionar més fàcilment i de manera molt més gràfica l’excitació amb la sortida.

Bàsicament la representació espectral consisteix en mostrar l’espectre d’una ona, és a dir, allò que amaga. Fourier va proposar que dins de qualsevol ona hi ha amagat el mateix “patró”, que anomenem espectre i que tindrà un valor en dBV que més endavant explicarem.

Si coneixem l’espectre de la sinusoide d’entrada i volem conèixer el comportament de la de sortida, només ens caldrà saber el GdB del circuit a la freqüència que treballem i sumar-lo a l’entrada per obtenir, en dBV, el valor de la sortida i de la mateixa manera, si sabem l’argument de l’entrada i l’argument de H(s), sumant-los obtindrem l’argument de la sortida. Això fa que la relació entre l’entrada i la sortida sigui una senzilla suma i que el disseny d’un circuit es faciliti immensament.

Que passa però si l’ona d’entrada no es sinusoïdal? Fourier també ho explica.

Per tota Vg periòdica Vg(t+-nTo) Co+2|C1|·cos(Wot+α1)+2|C2|·cos(Wot+α2)+...

On:

• Wo=2π/To
• Co=1/To·∫_To Vg(t)dt [Valor mig de la funció periòdica.
• Cn=1/To·∫_ToVg(t)·e^-jnWotdt=|Cn|e^jαn

Anomenem a aquesta representació sèrie de Fourier, i si en volguéssim trobar un símil circuital seria un circuit format per generadors sinusoïdals connectats en sèrie i harmònicament relacionats.

Si fem la representació espectral del desenvolupament en sèrie de Fourier veurem que obtindrem ratlles espectrals sempre que la funció sigui periòdica i serà del tipus següent:

Però el que realment ens serà útil serà conèixer aquesta representació espectral en dBV, per calcular l’alçada de cada espectre en dBV caldrà recordar per ara aquestes dues característiques:

• Si l’ona d’entrada és periòdica, quadrada i oscil·la per sobre del 0, només tindrà espectres als múltiples imparells de freqüència, Co=Vm/2 i Cn=Vm/2πn (decreix a raó de 1/n.
• Si en canvi l’ona d’entrada és quadrada i periòdica però oscil·la entre Vm i -Vm Co=0 i Cn=4Vm/nπ.

Aquest tipus de representació ens permet analitzar de manera freqüencial el comportament dels circuits i ens molts casos hi haurà molta diferència entre una ratlla espectral i la següent i això ens permetrà despreciar la segona respecte la primera. Considerarem que una ratlla espectral és despreciable si Vm1/Vm2>=100 o el que és el mateix Vm1(dBV)-Vm2(dBV)>=40dB. 

Idees de disseny (18/04/2016)

La última classe vam acabar-la amb la recent introducció de l’últim element dels nostres traçats de Bode , aquells elements que tenien polinomis de segon grau al denominador i, com ja vam veure, presentaven els anomenats pics de ressonància, un màxim. En aquesta classe ens vam adonar que si aconseguíem dissenyar un circuit l’amplificació del qual donés lloc, a Wo, a un pic de ressonància, podria ser-nos molt útil per detectar en un circuit la presència d’una sinusoide determinada. Per conèixer més aquest tipus de circuits vam estudiar l’amplitud del pic de ressonància.

IMPORTANT: -Gdb(Wo)=-20·log(2ρ)

Si al guany en decibels a Wo li sumem o bé li restem ρ·Wo ens adonarem que obtenim de resultat el guany en decibels a Wo més o menys 3 decibels, és a dir, el rang de freqüències en el que com a màxim, el guany ha decaigut 3dB. A aquest conjunt de freqüències l’anomenarem ample de banda (BW) i per analitzar la qualitat d’un circuit introduirem un nou factor que anomenem factor de calitat(Q)=Wo/BW=1/2ρ.

Després d’uns quants exemples vam fer, a mode de resum general, una llista amb idees de disseny classificades en funció de l’objectiu plantejat:

FILTRO PASO BAJO: les freqüències per sota de fc seran amplificades amb un factor de |H|=10^k/20, si superen fc es reduiran a -20·n dB/dècada. Per assolir l’objectiu i aconseguir un “filtro paso bajo”, tenim 3 possibles dissenys circuitals:

a.       Amb aquesta opció obtindrem un filtro paso bajo senzill en la que la freqüència de tall (-3dB) serà 1/2πRC. Com ja hem analitzat en altres classes aquest filtro donarà lloc a una traça de Bode formada per una recta de pendent 0 i valor 0 i una corba de pendent -20dB/dec a partir de la fc.

                                             

b.       La segona opció, que consisteix en un circuit com l’anterior connectat en cascada a un altre d’igual i aïllats per un seguidor de tensió tindrà una fc_-3dB=0,1/2πRC i ens permetrà obtenir un filtro paso bajo de segon ordre, és a dir, en el traçat de bode el pendent de la recta a partir de la freqüència de tall serà de -40dB/dec. El problema d’aquest model circuital és que és poc eficient per a freqüències altes ja que els amplificadors operacionals no funcionen bé per a freqüències molt grans.

c.       Per últim, i per solucionar el problema que sorgeix de la opció anterior, existeix un altre circuit que també ens permet obtenir un filtro paso bajo de segon ordre però que en aquest cas tindrà la recta de pendent 0 prèvia a fc a un valor de 20dB, ja que en aquest cas la funció de xarxa està formada per una constant multiplicada per un factor amb un polinomi de 2n grau al denominador.

FILTRO PASO BANDA: En aquest cas el que busquem és que s’amplifiquin les freqüències compreses en un rang concret i que l’amplificació fora d’aquest rang disminueixi com més ens allunyem de la freqüència de tall.
El circuit que podem utilitzar per assolir aquest objectiu queda descrit per una funció de xarxa amb un polinomi de 2n grau al denominador multiplicat per un factor del tipus ks.

L’ample de banda serà 1/RC i el factor de qualitat R·√(C/L)

FILTRO PASO ALTO: Per últim, vam estudiar quins són alguns dels circuits que ens permetrien obtenir un filtro paso alto, és a dir, que l’amplificació aniria augmentant fins a fc i a partir d’aquest valor l’amplificació seria constant. En aquest grup hi podríem incloure 2 circuits:

a.       Aquest primer ens permet obtenir un filtro paso alto de 1r ordre amb una

fc_-3dB=1/2πRC.

b.       El 2n cas, és molt similar a l’últim model que hem plantejat per al filtro paso bajo però canviant les resistències per condensadors i viceversa. De la mateixa manera que en aquell, obtindrem un polinomi de segon ordre al denominador, però en aquest cas tindrem dos factors ks al numerador. El traçat de Bode resultant serà una recta de pendent 40dB/dec que arribarà fins a la fc=1/2πRC i a continuació una recta a 4dB.

Per finalitzar la classe vam voler generalitzar els traçats de Bode a l’enginyeria comú, és a dir, vam buscar una manera de fer més útil i eficient la utilització dels traçats de Bode, amb aquest objectiu, vam introduir el que anomenem Representació espectral d’una sinusoide, que tractaríem més específicament a la classe següent.

Bàsicament, consistia en representar la tensió en dBV en funció de f, els dBV s’obtenen de comparar la tensió amb 1V, és a dir 20·logVm/1=Vm dBV. L’ús d’aquesta unitat ens permet treballar amb la següent igualtat: |Vo|dBV=|Vg|dBV+GdB i això ens evita haver de recórrer a la inversa del logaritme, a més si li sumem que les representacions són molts senzilles veurem que ens facilita molt l’anàlisi del comportament dels circuits a nivell general.

Nou i últim factor dels nostres traçats de Bode (14/04/2016)

La darrera classe vam endinsar-nos encara més en la representació de Bode i és per això que en aquesta classe vam començar directament amb un exemple, en aquest cas vam fer el traçat de Bode d’un circuit que tenia el comportament d’un filtre “paso alto”, i a continuació d’un circuit format per un filtro paso alto, un paso bajo i un seguidor de tensió que els interconnectava, tot connectat en cascada; la representació per tant estava formada per la suma dels traçats d’un element del tipus ks, i dos elements 1/RCS+1.

Per completar la nostra llista de factors que podríem trobar en una funció de xarxa vam introduir la presència de H(s)=s/wc+1,i H(s)=s/wc-1, és a dir, de polinomis de 1r ordre en aquest cas al numerador, que tenen una senzilla representació ja que són iguals que els elements amb polinomis de primer ordre al denominador però al revés, és a dir, la recta a partir de Wc és de pendent positiu.

La dificultat va aparèixer amb el següent i últim factor, en aquest cas es tracta d’un element format per un polinomi de 2n ordre al denominador, és a dir:  

amb 0<ρ<1

Per entendre’ls vam realitzar un petit estudi-repàs, del comportament dels polinomis de 2n ordre i a continuació vam arribar a la conclusió que el més important a identificar quan ens trobem davant d’una funció de xarxa d’aquest tipus és Wo i ρ. A Wo tindrem amplitud màxima si ρ està entre 0 i 0,5 i ens adonem d’un comportament especial quan ρ és inferior a 0,5, ja que apareix un màxim al que anomenarem pic de ressonància. Veiem doncs que aquest tipus de H(s) comporta una amplificació molt similar al filtro paso bajo, més eficient i amb un pic de ressonància a Wo.

Exemple de pic de ressonància

Vam analitzar el comportament d’aquesta funció en relació amb ρ, si aquesta és inferior a 0,1 tindrem arrels complexes conjugades, en canvi si ρ=0, tindrem arrels complexes pures.

Anàlisi dels errors de la traça de Bode (11/04/2016)

Per començar la classe vam fer un petit resum de les anteriors i vam adonar-nos que l’aportació més important de Bode és que l’ús del logaritme ens permet separar la representació complexa de H(s) en una suma de traces elementals i a més rectilínies.

Vam recordar que com ja haviem vist el dia anterior per calcular el guany en decibels a una freqüència concreta partirem d’un guany conegut i li restarem els decibels que disminueix el traçat per dècada multiplicats pel nombre de dècades que separen el valor que busquem de la freqüència que hem pres com a referència, aquest nombre de dècades es pot calcular com el logaritme de la freqüència desitjada dividida entre la freqüència de referència.

Tot i que gairebé tot son avantatges, les traces de Bode generen un petit error, però fins a quin punt és important? vam estudiar l’abast d’aquest error introduït per la representació asimptòtica respecte la real, i vam adonar-nos que a partir de la freqüència de 2Wc els dos traçats ja es confonen i per tant l’error es podia considerar molt petit. En canvi vam veure que quan representem l’argument, mentre que la representació asimptòtica esta formada per dues rectes, el valor real de l’argument a Wc es troba entremig d’aquestes dues, per solucionar-ho, una dècada abans de Wc comencem a dibuixar una recta que s’apropi al valor d’argument a Wc, que l’assoleixi a aquesta W i que arribi una dècada després a l’altra recta.

Exemple de traça de Bode de l'argument d'una sinusoide.

Seguidament vam realitzar uns quants exemples de traces de Bode de diversos circuits, veurem que hi haurà alguns circuits que comportaran una traça de Bode formada per més components i això podrà fer augmentar l’error en alguns casos, però ja hem vist que la tangència entre representació real i asimptòtica es produirà molt ràpidament. Per dibuixar traçats de Bode de circuits connectats en cascada ho farem de la mateixa manera, només ens caldrà trobar la funció de xarxa total que estarà formada per la multiplicació de les successives funcions de xarxa.

Cal destacar que podrem considerar verdaderament conegut un circuit quan en coneguem la seva funció de xarxa, el mòdul i l’argument d’aquesta, i la freqüència 1/2π·Wc, a la qual tindrà un comportament especial que també haurem de conèixer. 

Traces de Bode (07/04/2016)

A la classe d’avui ens hem endinsat en un nou tema, per introduir-lo hem fet un breu repàs del que ja sabíem sobre el comportament dels circuits en alimentar-los amb una sinusoide. Per conèixer i dominar per complet un circuit en RPS busquem conèixer el mòdul i l’argument de la seva funció de xarxa, però ens adonem que serà molt més fàcil de treballar amb qualsevol circuit si en coneixem la gràfica del mòdul de la seva funció de xarxa i de l’argument d’aquesta.

Amb aquest objectiu , per evitar les dificultats que suposa representar algunes funcions, iniciem un nou tema, el tema de les traces de Bode, que proposa una solució que pot semblar complicada però facilita aquesta tasca:

Bode planteja que enlloc de representar directament el mòdul de H(s) representem 20·log|H| en funció del logW, a aquest desconegut 20·log|H| l’anomena guany en dB. Un decibel és igual a 10·log(Pout/Pin), i s’origina amb l’objectiu de comparar la potència d’entrada i de sortida en una transferència, ja que la de sortida sempre té un valor molt inferior i per comparar-les s’hauria de treballar amb números extremadament petits, el logaritme permet comprimir i treballar amb valors molt més còmodes. Tenint en compte que P=V²/R el guany en decibels es calcula de la següent manera: 10=log(Vo² /R)/(Vin² /R)  = 20·logVo/Vin= 20·log|H|.

Pel que fa a l’argument ell proposa seguir representant-lo però en aquest cas en funció de logW.

Un cop presentada la proposta hem analitzat perquè era realment útil representar les traces de Bode enlloc de les gràfiques inicials. La correspondència lineal suposa una restricció molt important pel fet que l’amplificació creix molt ràpidament, és a dir, si associem a una f1 una d1=kf1, i suposem f2=10f1, la seva d2=10d1 i f3 ja estarà associada a una d3=100d1.

Com a solució Bode presenta l’ús dels logaritmes, però no podem trobar el logaritme d’algun valor amb dimensions i per això proposa trobar la distància associada a una freqüència a partir de la següent operació: l=k·log(f/f_referència), en aquest cas, si suposem que f2=10f1, d2 valdrà d1+k i per tant d2-d1=k . Això fa que l’eix d’abscisses quedi dividit en espais idèntics per a les freqüències amb una dècada de separació. [Dècada= separació entre dos freqüències tal que f2=2f1]

Aquesta nova representació comporta que les traces de Bode es representen en uns eixos que queden dividits de la següent manera:

L’eix d’abscisses queda dividit en espais iguals associat cadascun a una dècada i el d’ordenades graduat en Decibels. A l’eix marcat en taronja l’anomenem eix de guany 0dB, si la traça es troba per sobre vol dir que amplifica i si es dóna per sota que atenua.

 

El nombre de dècades entre dues freqüències serà igual al log(f2/f1), en canvi, anomenem octava a la distància entre dos freqüències tal que f2=2f1 i el nombre d’octaves es calcula com log₂(f2/f1).

f2/f1=10^nº.decades=2^{nº octaves}

Per tant, nº dècades=nº octaves ·log(2)=0,30·nº octaves.

Si entenem H(s) com una divisió de polinomis de coeficients positius arribem al resultat que H(s)=(Z1....Zm)/(P1....Pn) on Z1...Zm seran les arrels del numerador i les anomenarem zeros de H(s) i p1...pn seran els pols. L’anàlisi d’H(s) a partir de les arrels del seu numerador i denominador ens permet descompondre una representació complicada en una suma de traces elementals.

Gràcies a aquest resultat trobarem les traces de Bode a partir de l’estudi per separat dels factors que formaran part habitualment de H(S):

•  H(s)=k en aquest cas GdB=20·log|k| i veiem que el que tenim és un amplificador amb un guany de 20dB i que la gràfica de GdB serà una recta y=20 i la de l’argument no passarà del 0.
• H(s)=k/s aquí Gdb=20logk-20logW, això té forma de recta i en aquest cas serà una recta de pendent= -20 dB/dècada i que tallarà l’eix de de les x (per tant tindrà guany 0) quan x=k. La gràfica de l’argument serà una recta a y=-π/2 per tota freqüència.
•  H(s)=ks que gràficament serà la mateixa recta que en el cas anterior però amb pendent positiu i que tallarà l’eix d’abscisses a 1/k. A més l’argument en aquest cas valdrà π/2 enlloc de – π/2.
• H(s)=1/(s/wc+1) Quan ens trobem davant d’una situació com aquesta, veiem que Gdb serà 20·log1/|jwc/wc+1| = -20·log |jwc/wc+1| això ja sembla més complicat de representar, però si ho separem de la següent manera:

o   Quan w<<wc la part imaginaria és negligible al costat de la part real i obtenim GdB=-20·log1=0

o   Quan, al contrari, w>>wc succeeix el contrari i GdB=-20·log w/wc=-20·logW+20·logWc

I això dóna lloc al següent gràfic:

Format en el nostre cas per trams rectilinis, com veiem a la imatge però al punt de Wc que en aquest gràfic consideren 1 es dóna un petit error, però podem veure que és de només 3dB.

Per concloure faré un petit resum dels beneficis que ens aporten les traces de Bode:

•  Les relacions logarítmiques tenen un poder de compressió important que ens permet treballar amb nombres més còmodes i manejables.
• Permeten descompondre una representació complexa en una suma de traces elementals.
• Ens permeten obtenir gràfics formats per trams rectilinis molt fàcilment representables però que ens permetran conèixer i reconèixer ràpidament el comportament de H(s) en funció de la freqüència. 

Amplificadors operacionals en el disseny (04/04/2016)

Avui, per finalitzar el tema d’amplificadors operacionals i a mode de resum, hem recordat l’ús dels amplificadors operacionals per dissenyar, recordant quatre usos típics i introduint per a la seva realització alguns conceptes nous:

1.  Quan ens trobem davant de la realització d’una font controlada de valor kVx, en aquest cas connectarem un A.O. no inversor ideal, i ajustarem les resistències perquè ens doni la sortida desitjada, és a dir, perquè k=1+R2/R1. Un exemple amb aquestes característiques és el que ens va portar a estudiar els amplificadors operacionals, un circuit que permetia, sense sinusoide a l’entrada i amb una k de valor 3 obtenir una sinusoide a la sortida.
   
   
   
    Per realitzar aquesta font controlada connectem a V la pota positiva de l’A.O. ideal no inversor i C a la sortida de l’amplificador, ens adonarem que a k=3, la sortida seria la mateixa tot i que curtcircuitéssim Vg. Un altre exemple d’aquest primer tipus es dóna quan volem modelar un circuit que tingui un caràcter inductiu, el més senzill, però menys precís, seria pensar en utilitzar una bobina, però si busquem un model més exacte caldria tenir en compte que aquesta bobina generaria una petita però rellevant resistència paràsita. Per eliminar-la ens caldria enllaçar-hi un A.O. que ens doni a la sortida una Vo=2Vx, ja que si analitzem el bipol format per una resistència en sèrie amb una font controlada de valor 2Vx ens adonem que no hi ha diferència entre aquest i  el format per un únic resistor de valor -R, justament el que busquem per anul·lar la resistència paràsita. 
   
2.  El segon cas es dóna quan hem de realitzar una font controlada amb una amplificació k negativa, el més ràpid seria pensar en connectar el circuit a un amplificador inversor, però ja vam veure que aquests A.O.s no són ideals i que per tant generen modificacions en el circuit inicial que afectarien després en l’amplificació, aquí sorgeix la necessitat de convertir els amplificadors no ideals en ideals. Per fer-ho utilitzem l’amplificador ideal, però degenerat, és a dir, modificat perquè doni una amplificació 1. Si connectem en cascada aquest circuit degenerat entre el circuit inicial i l’A.O. inversor dotem a aquest de R interna infinita sense modificar l’amplificació. Aquest circuit s’anomena seguidor de tensió i converteix la sortida en una sortida d’un generador ideal de tensió, a la que no afecta tot el que ve a continuació.  

   

   Seguidor de tensió

A partir d’aquest nou model i de la connexió en cascada ja podem modelar la font controlada que vulguem i sovint ens serà còmode per estructurar les connexions fer un diagrama de blocs que especifiqui de manera gràfica cadascuna de les operacions que s’han de fer. Amb això ja podrem realitzar els dos últims tipus que falten:

     3.  Busquem una sortida: Vo=k(Vx-Vy). 

          El diagrama de blocs seria el següent: 

I ho modelaríem amb un seguidor de tensió connectat a Vx i un altre a Vy, que alhora estarien connectats el de Vx a l’entrada negativa i el de Vy a la positiva d’un amplificador diferencial o restador com el que vam veure a la classe anterior. La sortida d’aquest A.O. estaria connectada per últim a un A.O. ideal no inversor que ens aportaria l’amplificació desitjada.

      4. Per últim podríem buscar a la sortida una integral com la següent: Vo=∫(3Vx+2V2)dt, per fer-ho tornaríem a fer primer un diagrama de blocs per veure quins amplificadors caldria connectar en cascada.

 

A partir d’aquest diagrama de blocs veiem que caldrà connectar V1 a un A.O. ideal de R2=2R1, V2 a un altre A.O. ideal amb R1=R2, a aquest segon caldrà enllaçar-li un inversor per canviar-li el signe i aconseguir així una suma a partir d’un restador, que és el que vindrà després, connectarem V1 a la pota + del restador i V- a la negativa i obtindrem a la sortida 3V1+2V2, sortida que enllaçarem a un inversor i un integrador amb R=1M i C=1µF per obtenir a la sortida la integral positiva de 3V1+2V2.

Per acabar hem estudiat com assignar la polaritat als terminals d’entrada de l’A.O. i per fer-ho hem analitzat amb un exemple senzill que passaria amb les dues possibles polaritats. 

• En el cas en que la realimentació es dóna per la banda negativa de l’A.O. l’equació de la recta que genera la realimentació té un pendent negatiu i només existeix una solució a la zona lineal, i això es podria demostrar al laboratori. 
• Si invertim la polaritat i la realimentació és positiva la recta que s’afegeix té pendent positiu i tot i que segueix existint una solució en la zona lineal en aquest cas es donen alhora 3 solucions, la de la zona lineal i una a saturació positiva i l’altra a saturació negativa, això a la pràctica fa que només es doni o +Vcc o -Vcc, ja que la solució de la zona lineal és inestable. 

Amb aquest motiu ens quedarem sempre amb la realimentació negativa i quan haguem de polaritzar un amplificador el que haurem de fer és estudiar les dues polaritzacions i quedar-nos amb la que quan curtcircuitem Vg només admet com a solució 0 i no pas Vcc i -Vcc.

L’últim pas per acabar el tema dels amplificadors operacionals és ser capaços de modelar totes aquestes fonts controlades de manera que només ens calgui utilitzar una font, és a dir per a amplificadors amb alimentació unipolar i per finalitzar la classe n’hem vist un exemple. 

Anàlisi dels amplificadors en zona lineal (31/03/2016)

Després de les vacances de Setmana Santa hem reprès el curs i per posar-nos al dia hem resumit les conclusions a les que vam arribar la darrera classe sobre el funcionament de l’amplificador operacional en zona lineal.

Per estudiar l’A.O en aquesta petita zona vam veure que era molt útil relacionar Vo amb el circuit, aquesta relació l’anomenem realimentació i avui hem vist que quan estudiem un circuit realimentat podem seguir dos procediments:

1.  Substituir l’A.O. pel seu model a la zona lineal.
2.  Ens adonem que no cometem cap error important si suposem que  Ao (Vo = Ao(V+-V-)) tendeix a infinit, aquesta suposició implica que el valor absolut de V+-V- tendeix a 0 i per tant que V+ = V-, equació que afegirem al KCL. És a dir, quan ens trobem davant d’un A.O. realimentat el més ràpid i senzill serà afegir al mètode nodal modificat l’equació que obtenim d’aplicar el mètode de curtcircuit virtual : V+=V-.

A continuació hem estudiat diversos circuits amb A.O. realimentats:

AMPLIFICADOR IDEAL NO INVERSOR:

Si estudiéssim amb el mètode de caixa negra un amplificador com el següent obtindríem que l’entrada està curtcircuitada i que Vo=kVin, on k=1+R2/R1. Que l’entrada estigui curtcircuitada implica que la resistència d’entrada és infinita, i això el converteix en ideal, ja que no modificarà en absolut el circuit que li proporciona la tensió a amplificar, l’anomenem a més no inversor perquè la sortida tindrà el mateix signe que l’entrada.

L’ona associada a la sortida d’aquest circuit, sempre que es trobi dins la zona de validesa (|Vo|<Vcc), tindrà la mateixa forma que l’ona d’entrada, si sortim d’aquesta zona vàlida, obtindríem aquesta forma però distorsionada.

AMPLIFICADOR INVERSOR:

En aquest cas si estudiem el circuit obtenim que la resistència d’entrada no és infinita, sinó que Rin=R1, això fa que no sigui ideal, ja que afectarà als KCL del circuit que proporciona la tensió a amplificar. La sortida serà -Vin·R2/R1 ,per tant el signe de la sortida serà el contrari que el de l’entrada, és a dir, l’amplificador serà inversor.

Si afegíssim en paral·lel a la resistència R2 un condensador, analitzaríem el circuit en RPS i ens adonaríem que H(s)=(-R2/(R2Cs+1))/R1 , és a dir, actua com un A.O. inversor però enlloc de R2 tenim la impedància equivalent en paral·lel de R i C.

AMPLIFICADOR DIFERENCIAL:

La forma més eficaç d’analitzar aquest circuit és aplicant superposició, això ens porta adonar-nos fàcilment que està format per un amplificador inversor i un de no inversor, la sortida total serà per tant : Vo=(1+R2/R1)·(R4/(R3+R4))·V2-R2/R1·V1

Ens adonem a partir d’aquest resultat que si tots els resistors tenen el mateix valor Vo=V1-V2, amb aquest motiu l’anomenem diferencial o restador, i no és ideal ja que la part del amplificador inversor no ho és.

Després hem introduït un nou esquema circuital, format per la connexió de varis circuits, que anomenem circuit amb etapes connectades en cascada. Quan estudiem aquest tipus de circuit ho fem analitzant per separat cadascun dels circuits, ja que la 2a etapa no afecta al funcionament de la primera, l’únic que l’alimentació de la segona serà la sortida de la primera etapa. Això implica que la Vo final serà el resultat de multiplicar Vg per les funcions de xarxa de cadascun dels circuits.

L’últim tipus de circuit amb A.O. que hem vist és l’integrador, que com prediu el seu nom, ens permet obtenir a la sortida la integral de l’entrada.

La Vo d’aquest circuit, si la calculem de manera general ens dóna -1/CR·∫Vin dt , on -1/CR és un factor d’escala que podem eliminar triant de manera adequada els valors de C i R.

Si a més connectem en cascada aquest circuit amb un A.O. inversor amb R1 i R2 iguals, això li canviarà el signe, i si l’enllacem al A.O. inversor un circuit que ens permeti obtenir a la sortida una senyal esglaó i darrere del A.O. integrador un circuit amb un A.O. funcionant com a comparador i un LED, haurem creat un temporitzador que permetrà encendre el LED quan nosaltres desitgem ajustant el temps d’espera del temporitzador a partir del valor del potenciòmetre que hi haurà connectat a la V- del A.O. comparador (V+ estarà connectat directament al circuit integrador).

El descobriment d’aquest últim A.O., l’integrador, explica perquè anomenem a aquests dispositius amplificadors operacionals i és justament perquè ens permeten realitzar els operadors lineals (suma, resta, derivació, integració...).