Estudi extens de l'amplificador operacional (17/03/2016)

La darrera classe va acabar amb la introducció d’un nou dispositiu, el potenciòmetre, aquest ens permetia obtenir una resistència variable i permetia a l’usuari situar el llindar de comparació allà on volgués quan utilitzava l’A.O. com a comparador.

Ja vam veure que l’amplificador operacional té dues zones de treball, la zona lineal i les zones de saturació positiva i negativa, això donava lloc a dos models de circuit que avui hem analitzat més detingudament.

ZONES DE SATURACIÓ:

En aquest cas utilitzarem l’amplificador operacional a mode de COMPARADOR i el llindar de comparació, gràcies al potenciòmetre, podrà ser ajustat per l’usuari. Aquest llindar de comparació serà el que farà variar l’ona entre saturació positiva i negativa.

Si analitzem el AO com a comparador obtenim una V+=Vg(t), una V-=Vcc·α i per tant Vo=Vcc·Sgn(Vg- Vcc·α) el que implica que si Vg és més gran que Vcc·α Vo=Vcc i si és més petit Vo=-Vcc.

El que ens plantegem aleshores és la introducció d’un nou dispositiu que ens permeti veure ràpidament si en aquell moment a la placa hi tenim Vcc o -Vcc . Aquesta funció pot ser realitzada per un díode LED, però haurem d’estudiar el seu esquema circuital:

Un LED és un dispositiu no lineal que queda definit per la següent expressió, enlloc de per la relació V-I: i=Is(e^v/VTȠ -1).

• Is és la corrent inversa de saturació i sol variar entre 10^-12 i 10^-14 A.

Llavors Vg=Ri+V / V=Ri+ȠVT·ln(i/Is) i això només pot ser resolt mitjançant algoritmes matemàtics molt complexos, fet que ens porta a aproximar linealment el comportament d’aquest circuit, és a dir, mentre que realment la seva gràfica tindria una forma exponencial,  nosaltres l’estudiarem com una gràfica formada per dos trams rectes. El tram vertical correspon a la zona de conducció del díode, quan V supera una tensió anomenada llindar o Vɣ condueix a aquesta tensió, que en els díodes LED sol variar entre 1,9 i 3V. En canvi en el tram horitzontal el díode no condueix, la tensió V és inferior a Vɣ i el díode es comporta com un circuit obert.

En el primer cas, és a dir, quan el díode es troba en estat de conducció, només ens cal resoldre un KVL per deduir que la intensitat que circula pel circuit es calcula mitjançant la següent expressió:

 I=(Vg-Vɣ)/R >0

(Si I<0 implica que no circula corrent pel circuit i que per tant estem en el 2n cas (circuit obert)).

Ara que coneixem suficientment el funcionament d’un circuit amb un díode cal tenir en compte algunes consideracions sobre els LED:

• Els LEDs dissipen potència, una part en forma de llum però també una part en forma de calor, és per això que cal evitar la potència màxima que suporten i que sol ser de 20mW, això implica que no hi pot circular una intensitat superior a 10 mA.
•  Ens serviran com a indicador de +Vcc o -Vcc.

Però que passaria si enlloc d’alimentar l’A.O de manera bipolar l’alimentéssim només per la part positiva i connectéssim el negatiu a massa?

De fet, aquesta serà la manera més habitual d’utilitzar-lo i tot i que genera unes petites variacions d’anàlisi és bàsicament el mateix. En aquest cas però no es variarà la polaritat de Vcc, sinó que Vo podrà valdre +Vcc o 0, és a dir, enlloc de quedar descrita per la funció signe quedarà definida per la funció esglaó. Vo=Vcc·u(V+-V-). A nivell pràctic cal tenir en compte un parell d’aspectes:

•  Si utilitzem el circuit integrat dual LM358 la sortida inferior val exactament 0 però la superior acostuma a valdre aproximadament Vcc-1V. Però això no genera cap inconvenient ja que l’únic que necessitem són dos valors fixes amb els quals poder comparar.
•  V+ i V- hauran de tindre sempre un valor superior a 0, ja que sinó es poden produir disfuncions. Això només generarà un petit problema a l’hora d’utilitzar l’A.O. amb la funció inicial, convertir sinusoides en ones quadrades, ja que no podrem alimentar V+ amb una sinusoide perquè la seva part negativa donaria problemes. La solució que utilitzarem serà sumar-li a la sinusoide el valor del llindar de comparació en contínuca amb un “filtro paso alto”. Si variem el valor que sumem a V+ o el valor de V-, variarem la freqüència a que s’encén i s’apaga el LED, i si aquesta freqüència supera els 25Hz l’ull humà no serà capaç de percebre la intermitència sinó que el veurà encès tota l’estona. Això ens permetrà per exemple, mitjançant l’ús d’un control remot que reguli el subministrament de la sinusoide al circuit activar i desactivar un LED a distància.

ZONA LINEAL: l’objectiu primer amb el qual vam començar a estudiar les fonts controlades era obtenir una amplificació de valor 3, amb el primer plantejament que fèiem era molt difícil que es donés una solució en la zona lineal per a aquest objectiu, però el que proposem ara és introduir una nova relació: relacionar el circuit amb Vo. Introduïm una nova equació que fa que V+ i V- passin a ser funció de Vg i Vo. 

Basant-nos en un exemple després d’analitzar el circuit arribem a la conclusió que si (1+R2/R1) és molt més petit que Ao  o bé Ao tendeix a infinit podem considerar que Vo=Vg(1+R2/R1).

A més, si suposem que Ao tendeix a infinit llavors V+-V- ha de valer 0 i això implica que V+=V-. Aquest mètode s’anomena mètode de curtcircuit virtual , ja que suposa que es dóna un curtcircuit entre els terminals de l’entrada, i facilita immensament els càlculs.

Finalment, a nivell de conclusió analitzarem quin serà el procediment que seguirem a partir d’ara per estudiar el comportament d’un AO:

•   Si hi ha realimentació negativa buscarem solució a la zona lineal, sinó optarem per estudiar-lo com un comparador.
•  Per buscar solució a la zona lineal aïllarem Vo del KCL de V- i de l’expressió del curtcircuit virtual (V+=V-) i igualant-los obtindrem Vo en funció de Vg.

Cap a la realització de fonts dependents (10/03/2016)

Al final de l’última classe, després d’aplicar l’anàlisi sistemàtic en la resolució d’un circuit, ens vam adonar que aquell circuit concret que incloïa una font controlada de tensió era capaç quan la k (valor de la font controlada =k·V) valia 3 de generar una sinusoide a partir d’una entrada de tensió nul·la. Aquest fet és realment interessant ja que ens proporciona una ona constant sense necessitat d’alimentació i ens hem adonat que era important per tant saber com fer una font controlada. Amb aquest objectiu ens desviem lleugerament de la línia del curs per iniciar un tema que anomenarem: “CAP A LA REALITZACIÓ DE FONTS CONTROLADES”.

El dispositiu que primer estudiarem és el que anomenem amplificador operacional.

Els models més populars d’aquest dispositiu, que es fabrica com un circuit integrat en una petita pastilla negra, rectangular, de dimensions aproximadament 0,5cm x 1,0 cm són el TL081 i el LF358.

LF358

Per estudiar el seu comportament, enlloc d’estudiar-lo component a component que ens dificultaria i allargaria molt la feina, ho farem mitjançant l’enfocament de caixa negra, és a dir, no tenint en compte el que té dins sinó analitzant el seu comportament a partir d’un experiment del qual en podem extreure les següents conclusions:

• Els terminals d’entrada estan en circuit obert, no hi circula corrent.
• La tensió a la sortida (Vo) és independent del corrent que s’extreu del terminal de sortida, com es comprova si canviem la resistència de la seva branca, ja que Vo no varia amb el canvi de resistència. Això implica que Vo només depèn dels terminals d’entrada i es comporta com una font ideal de tensió.  Ara bé, el resistor de la branca de Vo no pot tenir un valor inferior a 500Ω, ja que el corrent que circuli per aquella branca ha de ser inferior a 30mA, en cas contrari, per evitar danyar el dispositiu, es desconnecta automàticament el terminal de sortida.

El coneixement sobre el seu comportament ens permet elaborar un model circuital pel qual podrà ser substituït l’amplificador per realitzar-ne l’anàlisi, però en aquest cas existeixen 2 models:

MODEL A: La seva zona de validesa és aquella que compleix que (v⁺-v^-)>Vcc/Ao [Ao=amplificació] i en aquest cas Vo=Vcc·Sgn(v⁺-v^-), és a dir, la Vo serà Vcc quan V+ sigui més gran que V- i -Vcc quan sigui més petita. Conseqüentment, no podem parlar d’amplificador, sinó més aviat de comparador, ja que ens permetrà comparar V+ i V-.

MODEL B: La seva zona de validesa és la conjugada de la del model anterior, és a dir quan la distància V+ - V- és molt petita, tan petita que fa molt difícil aquest funcionament. En aquest cas la relació Vg/Vo és lineal i si que amplifica, amplifica moltíssim, tant que la tensió de sortida acostuma a ser 10⁵ vegades la tensió d’entrada (Vo=10⁵·(v⁺-v^-)).

IDEA PER ANALITZAR CIRCUITS AMB AMPLIFICADORS OPERACIONALS:

A partir d’ara, ja coneixedors del comportament d’un A.O. quan n’haguem d’analitzar un podrem fer-ho de manera molt simple:

1. Substituïm l’A.O pel seu model.
2. Fem un anàlisi aïllat, mitjançant el mètode sistemàtic, del circuit deixant de banda l’amplificador, per trobar V+ i V-.
3. A partir de V+ i V-  i aplicant el model corresponent en cada cas obtenim Vo.

Per posar en pràctica aquesta forma de resolució, hem analitzat uns quants A.O.s i aquest anàlisi ens ha permès introduir el nou concepte de cicle de treball= temps a nivell alt de voltatge/període.

Els amplificadors en la major part de casos ens permeten convertir una ona sinusoïdal en una ona quadrada de la mateixa freqüència, però no ho fan sempre de manera síncrona. Quan tota la tensió d’entrada ve donada per V+, quan aquesta sigui positiva, la ona quadrada tindrà valor positiu i quan sigui negativa, negatiu, amb un percentatge en cada cas del 50%, però sovint, la V- introdueix un voltatge continu, que el que fa és crear un llindar de comparació, és a dir, el canvi de polaritat de l’ona ja no es dóna en el mateix punt que el de la sinusoide, sinó que es produeix en el moment en que la diferència canvia de signe, i això modifica en temps de treball.

I si permetéssim que l’usuari pogués triar aquest llindar de comparació? Amb aquesta funció apareixen els potenciòmetres, uns dispositius que ens proporcionen una resistència ajustable i que permetran que l’usuari pugui decidir on col·locar aquest llindar. El model d'aquests dispositius és el següent: 

R1=$R i R2=(1-$)R i llavors en funció d'on es situa el cursor varia la resistència que presenta el potenciòmetre. 

Una altra funció dels potenciòmetres és que permeten aconseguir resistències que no estan disponibles a nivell comercial. Si comprem un potenciòmetre d’un valor lleugerament superior a la resistència que volem obtenir i situem el cursor al valor desitjat, curtcircuitant el node restant, obtindrem la resistència que vulguem.

Introducció en l'anàlisi metòdic de circuits (07/03/2016)

Després de la resolució dels dubtes sorgits en la realització dels exercicis de la quarta entrega i d’un petit resum del ja explicat a mode introductori ens hem endinsat en el nou tema que ja vam anunciar l’altre dia que començaríem i que consistirà en trobar mètodes per determinar funcions de xarxa que no passin per reconvertir el circuit a un divisor de tensió.

ANÀLISI METÒDIC DE CIRCUITS:

Quan ens trobem davant de la resolució d’un circuit, si comencem a treballar sense una estratègia clara, pretenem aconseguir una equació per a cada incògnita i dues incògnites per element de circuit, fet que sovint ens dificulta molt la feina perquè dóna lloc a sistemes de moltes equacions i molt difícils de resoldre. Però si analitzem detingudament un circuit podem adonar-nos que existeixen unes variables, a les que anomenem generadores, a partir de les quals podem obtenir tota la resta d’incògnites del circuit, aquestes poden ser tres:

•  Corrents de malla
•  Tensions nodals
•  Equacions d’estat, és a dir, corrents als inductors o tensions als condensadors.

D’aquests 3 tipus de variables generadores, nosaltres utilitzarem el segon, ja que tot i que el mètode nodal no va ser molt acceptat en la seva introducció, és el mètode menys restrictiu i el que ens anirà millor.

Perquè les anomenem generadores? Molt senzill, perquè totes les tensions del circuit o bé coincidiran amb una tensió nodal, o bé es podran obtenir mitjançant la diferència de dues tensions nodals i perquè podrem trobar tots els corrents del circuit aplicant la senzilla relació de I=V/Z.

El procés que seguirem serà el següent:

1. Donem nom a cada tensió nodal (tenint en compte que si una tensió nodal depèn d’una altra no caldrà anomenar-la i que si una tensió nodal coincideix amb la tensió d’entrada del circuit tampoc caldrà perquè la considerarem directament com Vg).
2. Escrivim per a cada node dels que hem anomenat el seu KCL expressat en funció de les tensions nodals.
3.  Obtindrem un sistema d’equacions format per N-1 (N=nº de nodes) equacions linealment independents que podrem resoldre per Cramer per trobar les tensions nodals que ens permetran trobar tota la resta d’incògnites del circuit. El sistema tindrà una estructura similar a la següent:

 [DETERMINANT D'ADMITÀNCIES · [INCÒGNITES]=[TERMES INDEPENDENTS] 

                 O CONDUCTÀNCIES]

Com hem avançat en el primer punt, en el cas en que una tensió nodal coincideix amb la tensió d’entrada això lluny de generar un problema facilita la feina, ja que en aquell node no haurem de fer el KCL i prendrem directament la tensió d’entrada com a tensió nodal, fet que ens eliminarà una incògnita. A aquest mètode l’anomenarem Mètode Nodal Modificat.

Un altre fet que ens facilita la feina és la presència de fonts dependents, aquestes també ens eliminaran una incògnita i l’únic que haurem de tindre en compte és que la variable de control haurà d’estar sempre expressada en funció de les tensions nodals.

Per començar a agafar pràctica i adonar-nos de possibles errors a evitar hem realitzat una sèrie d’exemples abans de finalitzar la classe. 

Ampliem el teorema de bipols equivalents i retornem a les funcions de xarxa (03/03/2016)

L'última classe va acabar amb la introducció d'un teorema de gran utilitat i que avui hem ampliat. Per començar hem recordat que aquest teorema enuncia que tot bipol que treballa a una pulsació concreta i coneguda pot ser substituït per una inductància equivalent ben senzilla que pot estar formada només per una resistència, per una resistència en sèrie amb un condensador (impedància de tipus capacitatiu), o per una resistència en sèrie amb un inductor (impedància de tipus inductiu). Per mostrar la utilitat d'aquest teorema hem fet un exemple i a continuació hem ampliat aquest teorema introduint la idea de conductància equivalent.

Per parlar d'aquesta idea cal primer recordar la definició de conductància(G), que és la inversa de la resistència i per tant es pot calcular com 1/R i s'expressa en mhos o siemens (Ʊ). Conseqüentment la conductància equivalent serà la inversa de la resistència equivalent (1/Req) i podrà ser calculada també com I/V. En aquest cas tenim que i=V·Geq i això implica que per determinar-la en un bipol cal connectar una font de tensió (enlloc de la de corrent que connectàvem per esbrinar la resistència equivalent) als nodes del bipol i estudiar el comportament del circuit.

Amb l'objectiu d'entendre millor aquest nou concepte hem resolt uns quants exemples que ens han servit alhora per introduir noves idees i nous trucs. Per exemple, ens han permès adonar-nos que per calcular la conductància equivalent d'un bipol en el que hi ha dos o més resistors en paral·lel, només cal que sumem la conductància associada a cadascun d'aquests resistors.

A continuació, hem volgut estendre el concepte de conductància equivalent a bipols en RPS: com sempre que ens trobem davant d'un circuit sinusoïdal que volem estudiar en RPS el primer que hem de fer és trobar el seu circuit transformat fasorial, a partir d'aquest ens adonarem que de la mateixa manera que la conductància és la inversa de la resistència també existeix un concepte invers a la impedància equivalent a un bipol, l'admitància (Yeq(w)), que relaciona proporcionalment el fasor corrent amb el fasor voltatge.

I=Yeq(w)·V

L'admitància per tant es calcula com Yeq(w)=|I|/|V|·e^{j·(argI-argV)}=Geq(w)+jB(w)

És molt més útil la forma binòmica que a més té noms «propis», ja que la part real és la conductància i a la part imaginària l'anomenem susceptància. L'admitància, de la mateixa manera que la conductància, s'expressa en mhos o siemens (Ʊ).

Cal destacar abans de reprendre el tema de les funcions de xarxa dues coses que caldrà tenir en compte:

• Mentre que l'admitància sempre és la inversa de la impedància, no sempre podem afirmar que la part real d'aquesta, a la que anomenem conductància, sigui la inversa de la part real de la impedància.
• Sempre que tenim un inductor en paral·lel amb un condensador, quan la pulsació de l'ona sigui w=1/√LC aquesta part es comportarà com un circuit obert i si estan connectats en sèrie es comportarà com un curtcircuit.

Després d'aquest parèntesis hem tornat al tema central de les funcions de xarxa per plantejar-nos l'alta probabilitat d'error que ve lligada al seu càlcul. Per reduir-la hem introduït un canvi de variable molt útil que consisteix en substituir jw per S [S=jw], trobar la funció de xarxa en funció de S i finalment desfer el canvi per tornar-la a trobar en funció de wj.

Un altre mètode que permet gairebé eliminar aquesta probabilitat d'error és utilitzar els criteris de verosimilitud, que consisteixen en dues comprovacions:

1. [s=0] Calculem el valor de la funció de xarxa per s=0 i el comparem amb l'anomenat circuit asimptòtic en contínua, és a dir amb el circuit a w=0, que fa que els condensadors actuïn en circuit obert i els inductors en curtcircuit. Per comprovar que la funció de xarxa és correcta la relació de proporcionalitat entre Vo i Vg haurà de coincidir amb la funció de xarxa.
2. [s→∞] Calculem en aquest cas el valor de la funció de xarxa quan s tendeix a ∞ i el comparem amb el circuit asimptòtic a w→∞ que farà que els condensadors actuïn com un curtcircuit i els inductors com un circuit obert. Igual que abans, la relació de proporcionalitat entre Vo i Vg en aquest circuit haurà de coincidir amb la funció de xarxa.

Hem acabat la classe introduint els nostres propers temes que consistiran en trobar nous mètodes per determinar funcions de xarxa que no es basin únicament en reconvertir el circuit a un divisor de tensió i dissenyar circuits a partir del seu model.