Conclusions finals (19/05/2016)

Per tancar el curs, a la penúltima classe de CSL d’aquest quatrimestre vam concloure el tema de la discretització de circuits i vam resoldre un model d’examen final per tenir un exemple en què basar-nos a l’hora d’estudiar i així alhora, acabar el curs amb un resum de tot el que hem après.

Pel que fa a la discretització, vam veure que ens permetrà trobar la resposta completa del circuit coneixent només les condicions inicials dels condensadors i els inductors, a partir d’això i aplicant la fórmula de la darrera classe podrem trobar la resposta completa d’un circuit sense recórrer a EDOs ni transformades de Laplace.

Finalment, com he dit, vam resoldre un model d’examen final en el qual d’un circuit havíem de trobar-ne la resposta pròpia, la resposta forçada a diverses excitacions, el traçat de Bode tan de Gdb com de fase, la potència màxima, resoldre algunes qüestions de disseny i escriure el text que introduiríem al programa PSPICE per fer la simulació de la resposta pròpia del circuit.

Amb això, es dona per acabat el curs, i per tant aquest blog, que ha servit per poder portar al dia l’assignatura  i poder seguir bé totes les classes i alhora per poder analitzar amb més deteniment cada tema tractat en buscar el millor mètode per explicar-lo. 

Discretització de circuits (17/05/2016)

Després d’un breu resum, recordatori de la resposta completa d’un circuit, vam tornar a reprendre el tema de l’estabilitat d’un circuit per llistar les diverses vies possibles per determinar l’estabilitat d’un circuit:

1.  Analitzar els pols de H(s) i situar-los al pla, si tots els pols estan situats al semiplà esquerre, el circuit serà estable, només que un pol estigui a la banda dreta ja el converteix en inestable. TRUC: Si un polinomi és complet i té tots els coeficients del mateix signe és estable.
2. Per simple inspecció; si un circuit té resistors i NO té cap font controlada serà estable, en el cas que tingui alguna font controlada ja no podem determinar per inspecció la seva estabilitat.

A continuació ens vam centrar en els circuits estables. La resposta d’aquest circuit es pot dividir en dos, fins a un cert moment, mentre estem en règim transitori, la resposta esta formada per la pròpia del circuit i la forçada per l’excitació, una vegada superat aquest règim transitori passem al règim permanent en el qual només tenim la resposta forçada, de la mateixa forma de l’excitació. Però quan dura aquest règim transitori? Com més propers es trobin els pols de l’eix x=0 més durarà el règim transitori, però podem aproximar la seva duració aproximadament a 4 vegades la constant de temps τ, considerant k·e^-t/τ·u(t).

Finalment, per tancar el curs, ens plantegem com és possible que el simulador de circuit PSPICE, que té com a base del seu funcionament un algoritme que bàsicament el que fa és trobar la inversa d’una matriu sigui capaç de donar-nos la resposta completa d’un circuit si no és capaç de resoldre EDOs.

La solució a la que recorre PSPICE és la de discretitzar el circuit, és a dir, enlloc de buscar la resposta per a tot t, la busca per instants discrets de t, és a dir, enlloc de buscar v(t) es “conforma” amb v(nTs). Per no perdre informació, Ts haurà de ser suficientment petit com perquè a l’harmònic de més freqüència s’hi prenguin mínim 2 mostres/Ts.

Aquesta renuncia ens permet obtenir Vo(nTs) sense haver de resoldre cap equació diferencial, i això permet a PSPICE donar-nos la resposta completa del circuit.

L’únic problema d’aquesta discretització és la quantitat de càlculs que comporta, que farà que no funcioni bé a freqüències molt altes perquè el programa no tindrà temps de resoldre tots els càlculs.

Circuit transformat de Laplace i estabilitat d'un circuit (12/05/2016)

Reprenent el tema de l’última classe en què vam començar amb l’estudi de la resposta completa d’un circuit, vam fer una llista d’aquelles transformades més recurrents:

1)

Com podem observar a la següent imatge, si situem en el pla els pols d’aquesta transformada de Laplace obtenim un pol positiu, un de negatiu i dos pols complexes conjugats provinents del terme de segon grau al denominador.

Els dos pols reals donaran lloc a una exponencial positiva i negativa en cada cas:

•  K₁·e^-5t
•  K₂·e^3t

En canvi els pols complexes conjugats donaran lloc a una sinusoide amortida que vindrà donada per l’equació: k·e^-1/2t·cos(10t+α), si generalitzem, la resposta introduïda per un parell de pols complexes conjugats serà del tipus:

                                        2·|k|·e^-Re[pols]·cos(Wo·Im[pols]+arg)

Si els pols complexes conjugats tinguessin una part real positiva aportarien una sinusoide que enlloc de ser amortida seria amplificada amb el temps.

  

2)

En aquest cas només tindrem dos pols, que estaran situats a l’eix de les Y a j10 i -j10. Aquest tipus de pols aporten a la resposta del circuit una sinusoide d’amplitud el mòdul del pol.

A continuació vam resoldre una sèrie d’exemples i vam introduir el que anomenarem Circuit transformat de Laplace, aquell circuit que obtindrem de substituir v(t) i i(t) per les seves transformades de Laplace. A continuació explicitaré els canvis que es donen sobre cada component (tot i els canvis seguirem conservant els mateixos símbols per facilitar la comprensió):

• Resistors: no sofreixen cap variació.
• Equacions de Kirchoff: segueixen aplicant-se de la mateixa manera però amb les transformades corresponents.
• Inductors: esdevenen un resistor de valor Ls connectat en sèrie a una font de valor L·i(0-)
• Condensadors: es converteixen en un resistor de valor 1/Cs connectat en sèrie a una font en aquest cas de corrent de valor V(0)/s.

El circuit transformat de Laplace serà doncs un circuit resistiu i amb les tècniques d’anàlisi que ja utilitzàvem pels circuits resistius podrem trobar V(s) i a partir d’aquesta v(t).

Perquè podem estudiar el circuit directament en RPS i no cometre un error significatiu?

Vam comprovar mitjançant la resolució d’un exemple que al cap de poc temps la resposta pròpia desapareixerà i quedarà només el règim permanent, per tant aquest mètode és realment útil.

Després de tot aquest anàlisi ens vam plantejar la pregunta que, després de tot el curs, ja podem respondre amb precisió, què fa un circuit?

Quan apliquem una excitació a un circuit a la sortida obtindrem una sèrie de termes provinent de la funció de xarxa i independent de l’excitació, la resposta pròpia, i un altre terme de la mateixa forma que l’excitació.

                 

                                                                    

Podem classificar els circuits en estables i inestables, els circuits estables són aquells que amb una entrada fitada, la sortida també ho serà. La resposta forçada sempre serà igual a l’entrada, per tant si l’entrada és fitada aquesta també ho serà i no podem utilitzar-la per establir aquesta classificació; per determinar l’estabilitat d’un circuit ens basarem doncs en la resposta pròpia del circuit i una manera senzilla de conèixer l’estabilitat d’un circuit és situant els seus pols en el pla de coordenades, els pols situats a la part negativa de l’eix de les x, correspondran a una resposta exponencial negativa i que per tant desapareixerà amb el temps, per tant la sortida al cap d’un cert temps correspondrà només a la resposta forçada i el circuit serà estable. Si els pols es troben a la part dreta de l’eix, a valors de x positius, el circuit serà inestable ja que la resposta serà una exponencial creixent. Un cas especial es dóna quan els pols es troben a l’eix x=0, en aquest cas els circuits s’anomenaran marginalment estables, ja que en funció de l’excitació seran o no estables.

Potència màxima i introdució a l'estudi de la resposta completa d'un circuit (09/05/2016)

En aquesta classe, després de fer un petit repàs del concepte de potència introduït en les anteriors classes, vam estudiar els possibles complements sobre la potència mitjana. La pregunta en la que vam basar la classe va ser quina potència es pot extreure d’un bipol si tenim en compte la resistència associada al generador? Es pot maximitzar?

Podem calcular la potència d’un circuit com el de la figura de la següent manera:

Si, a partir d’aquesta fórmula, fem la representació de la potència en funció de R_L ens adonem que aquest gràfic té un màxim, que correspon al punt en què Rg= R_L , en aquest punt:

Aquesta potència l’obtindrem quan connectem la resistència equivalent de Thèvenin, és per això que quan ens trobem davant d’un circuit i en volem extreure la màxima potència, seguirem els següents passos:

1. Busquem el seu circuit transformat fasorial.
2. Busquem la tensió i la impedància equivalent de Thèvenin.
3. Trobarem la màxima potència amb la següent fórmula:  

També es pot donar la situació inversa, és a dir, sabem la màxima potència que podem extreure d’un circuit però ens demanen proposar un bipol equivalent per aconseguir-ho, que bé pot ser en sèrie o en paral·lel. Detallaré també pas a pas, el procediment a seguir en aquest cas:

1. Buscarem el circuit transformat fasorial.
2. A continuació la impedància equivalent de thèvenin.

BIPOL EN SÈRIE:

• A partir del conjugat de la impedància de thèvenin podrem saber si el bipol que busquem haurà de ser de caràcter inductiu, si la part imaginària té signe positiu, o capacitatiu si el signe és negatiu.
• Una vegada conegut el caràcter del bipol ja només caldrà associar la part real a la resistència i la part imaginària a l’inductor (LxW) o al condensador (1/CxW) i podrem trobar així el valor dels components del bipol.

BIPOL EN PARAL·LEL:

•  En aquest cas, el primer que farem serà buscar, a partir de la impedància, l’admitància del circuit (Y=1/Z).
• Una vegada més, el signe de la part imaginària determinarà el caràcter del bipol, però en aquest cas, serà inductiu si el signe és negatiu i capacitatiu en cas contrari.
•  Per últim només faltarà igualar la resistència a la part real de l’admitància (1/Rx) i la part imaginària a l’inductor(1/LxW) o al condensador (CxW) en cada cas.

A continuació, vam iniciar l’últim tema que hem tractat aquest curs. Des del primer moment, l’objectiu d’aquesta assignatura ha sigut conèixer el comportament d’un circuit, fins ara ens havíem centrat en estudiar-lo en règim permanent sinusoïdal, és a dir, quan passat un temps ja es comportava a la sortida de manera similar a l’entrada, però aquí comença l’anàlisi de la resposta completa d’un circuit, és a dir, des del segon 0, tenint en compte tan el règim que anomenarem transitori, com el règim permanent sinusoïdal, i veurem també el temps que triga en desaparèixer el transitori per considerar si cometem o no un error important en no contemplar-lo.

Per estudiar el règim transitori ens caldrà resoldre equacions diferencials ordinàries, ja que els inductors i els condensadors introduiran una relació corrent tensió que ve donada per una derivada. Per tractar amb aquest tipus d’equacions, nosaltres utilitzarem el mètode de la Transformada de Laplace i per facilitar-nos la feina, crearem una reduïda llista de transformades que haurem de conèixer perquè seran les que més utilitzarem.

• Funció esglaó: [u(t)] V(s)=1/s
• Exponencial negativa: [Vm·e^-ta·u(t)] V(s)=Vm/s+a
• Exponencial positiva: [Vm·e^ta·u(t)] V(s)=Vm/s-a
• Sinusoide: [Vm·cos(t)·u(t)] à V_ms/s²+W²         [Vm·sin(t)·u(t)]à V_mW/ s²+W²

L’aspecte que tindrà V(S) (transformada de laplace de V) serà:

Per trobar l’anti-transformada de Laplace podrem fer-ho per identificació o bé en el cas que no sigui tan senzill, fent la descomposició en fraccions simples de la resposta obtinguda i identificant cada fracció amb un tipus de resposta. Cal dir també que si sabem situar els pols en l’eix de coordenades, ja podem obtindré una aproximació del tipus de resposta, i només ens caldrà trobar la constant multiplicativa associada.

Potències en circuit alimentats per tensions compostes (05/05/2016)

Vam començar la classe amb un exemple, en aquest havíem de trobar la potència mitjana al resistor d’un filtro paso bajo, després de resoldre’l a nivell de recordatori de la classe anterior vam endinsar-nos més en l’estudi de la potència, en aquest cas vam analitzar la potència mitjana no en un resistor, sinó en un bipol qualsevol, aplicant la fórmula general de la potència (P=V·I) i considerant V=|V|·cos(Wot+argV) i I=|I|·cos(Wot+argI) arribem a la conclusió que:

Si especifiquem la fórmula per un circuit només capacitatiu o inductiu, ens adonem que la Pm en aquestes situacions és nul·la, és a dir, els únics elements que dissipen potència són els resistors, a més podem veure també que si considerem la fórmula per un circuit només resistiu obtenim les fórmules que ja coneixíem de la classe anterior:

Per comprovar aquesta fórmula vam resoldre un exemple en què havíem de calcular la potència mitjana total d’un circuit, mitjançant dos mètodes diferents:

1. El primer mètode consistia en calcular la admitància equivalent del circuit i multiplicar la seva part real per 1/2|V|^2
2. El segon en canvi era calcular les dues potències per separat i sumar-les.

A continuació vam resoldre un exemple invers, és a dir, ens donaven la impedància d’un bipol i  a partir d’aquesta i de la sinusoide d’entrada (de la qual sabíem amplitud i freqüència) calcular la potència mitjana i donar possibles circuits que complirien aquelles condicions.

Per tancar amb els diversos mètodes de càlcul de potències en funció de l’alimentació del circuit vam analitzar com calcularíem la potència quan l’entrada del circuit és composta, es poden donar 3 situacions diferents:

• Circuit alimentat per una font de corrent altern i una altra de contínua:

                                                             

• Circuit alimentat per dues fonts de corrent altern treballant a freqüències diferents:

                                                               
            A aquestes funcions (Vm1 i Vm2) les anomenem funcions incorrelades u ortogonals.

• Circuit alimentat per una tensió periòdica, que ja vam veure per Fourier que és, en realitat, una suma de diverses ones harmònicament relacionades:

                                                  

Per comprovar i donar versemblança a aquestes fórmules vam resoldre alguns exemples i per acabar la classe vam introduir el que podríem considerar un nou tema relacionat amb la potència : Potència en el camp de l’enginyeria de telecomunicacions

En el camp del nostre estudi, quan parlem de potència no la donarem en watts, sinó en una nova unitat, el dBm, aquesta ens aporta molta facilitat a l’hora de comparar potències, ja que P(dBm)=10·log(P/10^-3) i llavors podem calcular el guany de potència en dB com 10·log(P/Pin), si el comparem amb el guany en dBc (GdB) ens adonem que són el mateix, és a dir GpdB=GdB i això ens permetrà afirmar que :

P_L(dBm)=P_in(dBm)+GdB

Potència (02/05/2016)

Aquest dilluns vam introduir a classe un nou concepte que ens permetrà analitzar o comparar els circuits en base a un altre criteri, la potència. Sovint, l’objectiu en dissenyar un circuit no és només obtenir uns resultats sinó obtenir-los de la manera més ràpida i eficient possible. Amb la potència apareix així un nou criteri de disseny.

Ja sabem de cursos anterior que la potència es calcula com P(t)=V·I i que s’expressa en Watts, però el que realment ens interessarà serà el valor mig de la potència.

Per començar vam estudiar el valor mig per entendre realment a què ens referíem quan parlàvem d’aquest aspecte de la potència i per enllaçar a partir d’aquest amb la resta d’aspectes importants relacionats amb aquesta nova magnitud.

El valor mig és un descriptor parcial que ens permet descriure la magnitud d’una tensió variable fent-li correspondre a un interval d’una tensió variable un interval d’una tensió contínua en el qual l’àrea descrita és igual a l’àrea descrita per la tensió variable en l’interval determinat. A partir d’aquesta relació obtenim:

Per continuar amb l’anàlisi del valor mig, vam intentar calcular el valor mig de diverses tensions i vam adonar-nos d’un problema, quan intentem trobar el valor mig d’una tensió que oscil·la de manera simètrica al voltant d’un punt, sempre ens donarà 0, i és evident que una tensió de valor 0 no és una bona representació d’una tensió variable. Per solucionar aquest problema apareix l’anomenat valor mig “root mean square”, aquest nou valor el que fa és calcular l’arrel quadrada del valor mig del quadrat de la tensió. Amb el quadrat (square) eliminem la part negativa de la tensió, després en busquem el valor mig com anteriorment i a continuació en fem l’arrel quadrada per tornar a les dimensions inicials de V. A aquest valor també l’anomenarem, com ja explicaré més endavant, valor eficaç.

El que vam fer a continuació va ser calcular en diversos exemples el valor RMS per buscar un patró característic en tensions de tipus conegut i que utilitzem habitualment:

• Tensió oscil·lant de manera perfectament simètrica entre -V i V. V_RMS=V.
• Sinusoide: V_RMS=V/√2

Veiem doncs que per obtenir la potència mitjana podrem recórrer a V_RMS que ens funcionarà en tots els casos i podrem fer-ho de dues maneres:

1. Pm= (V_RMS)²/R
2. Pm= (I_RMS)²·R

Això redueix el problema a trobar V_RMS o I_RMS.

Per acabar la classe vam buscar la potència mitjana de diversos circuits en funció del tipus d’excitació:

• Circuit alimentat amb una tensió contínua:

Pm=(V_DC)²/R        Pm= (I_DC)²·R

•  Circuit excitat amb una tensió sinusoïdal: 

Pm=(|Vm|)²/2R       Pm=(|Im|)²·R/2

Abans ja he avançat que podíem anomenar també valor eficaç a V_RMS, això és degut a que si comparem dos bipols iguals, un excitat amb una tensió sinusoïdal i l’altre amb una tensió contínua, seran iguals quan la tensió contínua sigui igual a Vm/√2, que és justament el valor que pren V_RMS quan el calculem en un circuit excitat per una sinusoide.

Estudi de circuits en el domini freqüencial (25/04/2016)

Un dia més vam començar amb la conclusió de la classe anterior, en aquest cas, el dia abans havíem arribat a veure que a partir del desenvolupament en sèries de Fourier podíem escriure:

Tot i que l’ús de les sèries de Fourier per representar espectralment les sinusoides ens dóna una visió molt gràfica de com el circuit processa una sinusoide i ens facilita el disseny de circuits, relacionar Vg amb Vo mitjançant H(s) ja vam veure que era poc útil, i encara ho serà menys en aquest cas, ja que els traçats de Bode ens tornaran a facilitar molt la feina, perquè podrem obtenir Vo a partir de la suma de Vg amb GdB, enlloc del producte de Vg amb H(s).

Una vegada coneguts tots aquests aspectes vam resoldre un exemple per poder veure, pas a pas, com resoldre circuits amb tot el que sabem:

1.  Fem la representació espectral de Vg, primer en volts i a continuació en dBV.
2.  Busquem H(s),l’analitzem i trobem el seu traçat de Bode.
3.  Sumem la representació espectral amb el guany en decibels, és a dir, amb el traçat de Bode i obtenim així la representació espectral de Vo.

Per últim vam resoldre quatre exercicis a nivell d’exemple que ens van permetre veure el comportament freqüencial de diversos tipus de circuits ja coneguts:

FILTRO PASO BAJO:

En el cas d’un filtro paso bajo si l’excitem amb una ona quadrada que oscil·li entre 0 i Vm obtindrem una versió suavitzada de l’entrada. Les freqüències fins a fc no es veuran modificades, però les superiors a aquesta freqüència de tall seran fortament atenuades i això farà que no obtinguem transicions brusques, perquè com més alts siguin els harmònics, més seran atenuats. Si aprofitem aquesta propietat podem utilitzar un filtro paso bajo per obtenir el valor mig d’una ona, ja que si la freqüència d’entrada és molt més gran que la de tall, l’únic espectre que no serà gairebé eliminat serà el que correspon al valor mig, és a dir, el que ve donat per Co i llavors Vo serà el valor mig de Vg.

FILTRO PASO ALTO:

Si tractem amb un filtro paso alto en canvi, les freqüències que no es veuran modificades seran les que es trobin per sobre de la freqüència de tall, però si la freqüència està per sobre d’aquesta serà amplificada. Si excitem un circuit d’aquestes característiques amb una ona quadrada que oscil·li entre -Vm i Vm ens adonarem que a la sortida obtenim Vg però sense contínua.

FILTRO PASO BANDA:

En aquest cas, la traça de Bode que vam veure fa dues sessions ja ens anunciava que es produiria un pic de ressonància, és a dir, un màxim de freqüència. En aquest màxim de freqüència la amplificació serà de valor 1 i si el pic és prou bo (Q<5) l’amplificació a 3fp=3/8Q.

Aquesta gran diferència entre el primer i el segon harmònic, si l’expressem en dBV encara s’intensifica més i això fa que en la representació espectral puguem despreciar tots els espectres respecte el primer, si analitzem aquest comportament al domini temporal, equival a una sinusoide de freqüència la freqüència del pic de ressonància.